柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

向かってくる・遠ざかっていく物体での光速度（２）

時空間ドップラー効果光相対性理論ローレンツ変換

重力ポテンシャルがないところでも、ドップラー効果によって光の速度が変わって見えてしまう件ついて。

昨日は、それを解明する準備として、ローレンツ変換での時間や長さの伸び縮みについて復習しました。

その際の計算式で、光が斜めに進む距離 $r$ について、

　 $\displaystyle r =\frac{l}{v}$ 　（式１）

という式を出しました。（光速度を１とする単位系です）

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また、以前、向かってくる・遠ざかっていく物体の見かけの速度 $v_i$ について、実際の速度を $v$ とすると、物体が向かってくる場合は、

　 $\displaystyle v_i=\frac{v}{1-v}$ 　（式２）

遠ざかっていく場合は、

　 $\displaystyle v_i=\frac{v}{1+v}$ 　（式３）

となることを調べました。

これを式１に当てはめて、見かけの光速度（ $c_i$ とします）を求めてみましょう。

光が進む距離 $r$ を見かけの光速度 $c_i$ で割ったものが光が距離 $r$ 進むのにかかる時間であり、それはロケットが距離 $l$ を見かけの速度 $v_i$ で進むのにかかる時間と同じになりますから、

　 $\displaystyle \frac{r}{c_i} =\frac{l}{v_i}$

　 $\displaystyle c_i×l =r×v_i$

　 $\displaystyle c_i=\frac{r}{l}×v_i$

となります。

物体が向かってくる場合は、式２から、
　 $\displaystyle c_i=\frac{r}{l}×\frac{v}{1-v}$

　 $\displaystyle c_i=\frac{r}{l}×v×\frac{1}{1-v}$ 　（式４）

です。

式１を変形すると、

　 $\displaystyle r =\frac{l}{v}$

　 $\displaystyle \frac{r}{l}×v =1$ 　

ですので、これを式４に代入すると、

　 $\displaystyle c_i=\frac{r}{l}×v×\frac{1}{1-v}$

　 $\displaystyle c_i=\frac{1}{1-v}$

となります。

物体が速度 $v$ で向かってくる場合、その物体の中の光速度は、もとの光速度の $\displaystyle \frac{1}{1-v}$ 倍に見えます。

物体が遠ざかっていく場合は、式３を使って、 $\displaystyle \frac{1}{1+v}$ 倍に見えることがわかります。

「不変」と思っていた光速度が変わります。
でもそれって、あくまでも「見かけ」ですよね…？

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